Orbital Ephemerides of the Sun, Moon, and Planets
presented by E. Myles Standish and James G. Williams

Орбитальные эфемериды Солнца, Луны и планет.

Е.Майлс Стэндиш, Джеймс Г.Вильямс

4. Алгоритм численного интегрирования

Численное интегрирование уравнений (1), (6), (8) выполняется методом Адамса с переменной длиной шага и переменным порядком интегрирования (Krogh, 1972). Текущий порядок интегрирования 33 дифференциальных уравнений определяется заданием границы погрешностей и поведением обратных разностей для ускорений.

Это доказано численно, что более удобно интегрировать уравнения движения Луны относительно Земли, чем относительно барицентра Солнечной системы. Барицентрические положения Земли и Луны были заменены на величины     и   ,   даваемые формулами

(16)

и

(17)

где обозначения   e   и   m   относятся к Земле и Луне, соответственно. Заметим, что     является разницей векторов в барицентрической системе отсчёта и отличается от геоцентрического вектора релятивистским преобразованием между барицентрической и геоцентрической небесными опорными системами отсчёта. (Вектор    можно интерпретировать как положение ньютоновского центра масс системы Земля-Луна относительно барицентра Солнечной системы. Он не имеет физического смысла и не должен появляться при вычислениях сил; это исключительно средство для улучшения численного поведения дифференциальных уравнений.)

4.1. Оценка ошибки интегрирования

Метод контроля ошибки, использованный при интегрировании, ставит предел абсолютного значения оцениваемой погрешности в скорости для каждого уравнения на конце каждого шага интегрирования. Величина шага и порядок интегрирования улучшались на основе оцениваемой погрешности. Предел, выбранный для модели DE405/LE405, был     астрономических единиц за сутки для каждого компонента уравнений движения планет и Луны и     радиан за сутки для каждого компонента уравнений либрации.

Интегрирование уравнений движения в случае моделей, предшествующих DE405, было выполнено на компьютере Univac mainframe с двойной точностью и 60-битовой мантиссой. Решение для DE405 было получено с четверной точностью на компьютере VAX Alpha. Во всех случаях ошибка интегрирования была значительно меньше, чем оценка погрешности, получаемая из невязок процесса улучшения начальных условий и постоянных модели с помощью наблюдательных данных. Эти погрешности проанализированы позже в разделе 9.

4.2. Улучшенные постоянные

Интегрирование требует ввода числовых значений ряда параметров. Часть этих параметров, таких как начальные положения и скорости планет и Луны, являются результатом процедуры улучшения по методу наименьших квадратов и отличаются на каждой итерации. Другие параметры, такие как массы планет и числовые значения коэффициентов разложения геопотенциала, взяты из внешних источников и были лишь чуть-чуть изменены для целей построения модели. Несколько параметров, такие как масса системы Земля-Луна, могут быть улучшены на основе наблюдений, но для удобства подправлялись только тогда, когда статистически значимые улучшенные значения параметра выходили за пределы стандартного интервала.

Список начальных значений и динамических постоянных, использованных при интегрировании уравнений движения в процессе создания модели DE405/LE405, дан в разделе 8. В том же разделе есть список постоянных, использованных для редукции наблюдательных данных, которые были определены при решении по методу наименьших квадратов.