Orbital Ephemerides of the Sun, Moon, and Planets
presented by E. Myles Standish and James G. Williams

Орбитальные эфемериды Солнца, Луны и планет.

Е.Майлс Стэндиш, Джеймс Г.Вильямс

3. Уравнения движения

Уравнения движения описывают силы, действующие на планеты, Солнце и Луну и регулирующие их движение, и момент сил, приложенный к Луне и влияющий на ориентацию осей инерции Луны. Мы полагаем, что уравнения, представленные в этом разделе, корректно и в полной мере моделируют движение небесных тел на уровне точности наблюдательных данных. Другими словами, при заданной точности наблюдений нет повода предполагать наличие иных сил в Солнечной системе, чем те, что приняты во внимание. Неопределённости, существующие в движении Луны и планет, уверенно объясняются учётом погрешностей наблюдений и процедурой улучшения начальных условий и динамических постоянных.

Основные положения этого раздела разрабатывались в Лаборатории реактивного движения в течение нескольких последних десятилетий. Формулы, представленные здесь, включают также ссылки на их описания в прежних публикациях.

Уравнения движения, использованные при создании DE405/LE405 включают вклад от следующих факторов: (a) взаимодействие точечных масс между Луной, планетами и Солнцем; (b) общая теория относительности (параметризованный пост-ньютоновский подход при выборе "изотропных" координатных условий); (c) ньютоновские возмущения избранных астероидов; (d) действие на фигуру Земли со стороны Луны и Солнца; (e) действие на фигуру Луны со стороны Земли и Солнца; (f) физическая либрация Луны, моделируемой как твёрдое тело , обладающее приливными и вращательными искажениями и включающее как эластичные, так и диссипативные эффекты; (g) эффект на движение Луны, производимый приливом, возникающим на Земле под действием Луны и Солнца, и (h) возмущения от 300 астероидов в движении Марса, Земли и Луны.

3.1. Взаимодействие точечных масс

Основные гравитационные силы на девять планет, Солнце и Луну моделируются как взаимодействие точечных масс, соответствующих этим телам, на основе параметризованного пост-ньютоновского подхода (PPN) к проблеме n-тел для метрики, определяемой "изотропными" координатными условиями (Will, 1974). Уравнения движения n-тел были получены Эстабруком (Estabrook, 1971a) методом вариации независящего от времени интеграла действия Лагранжа и сформулированы в невращающейся прямоугольной системе отсчёта с началом в барицентре Солнечной системы. Включены также ньютоновские гравитационные возмущения от 300 астероидов, выбранных по причине оказываемого ими ощутимого эффекта на взаимное расстояние между Землёй и Марсом на интервале времени точных измерений дальности с помощью космических аппаратов.

Для каждого небесного тела i ускорение, обусловленное взаимодействием точечных масс, даётся уравнением

(1)

где
- вектор положения, вектор скорости и вектор ускорения тела i  ;
  , - гравитационная постоянная, - масса тела j   ;

- PPN параметр, мера нелинейности гравитационного поля;
- PPN параметр, мера кривизны пространства, порождаемой одиночной покоящейся массой (в нашем варианте интегрирования, как и в общей теории относительности,     )   ;
  и   - скорость света.

Величина , появляющаяся в двух слагаемых правой части уравнений (1), означает барицентрическое ускорение каждого тела j, обусловленное ньютоновским притяжением остальных тел и астероидов. Таким образом, правая часть уравнений зависит от левой части, и, строго говоря, вычисления должны быть итерационными. Тем не менее, использование для этих членов ньютоновских ускорений обеспечивает достаточную точность.

В предпоследнем слагаемом правой части (1) величины с индексом m относятся к трём большим по массе астероидам (“Big3”): Церере, Палладе и Весте. Последний член представляет силы, обусловленные действием 297 других астероидов только на Землю, Луну и Марс. Малые тела сгруппированы по трём таксономическим классам (C, S, M).

Силы притяжения от астероидов были вычислены следующим образом.

• Орбиты “Big3” астероидов были проинтегрированы с учётом сил взаимного притяжения и сил со стороны девяти планет, Солнца и Луны с использованием начальных условий из специального “dastcom” файла, поддерживаемого группой динамики Солнечной системы Лаборатории реактивного движения. Эти орбиты были аппроксимированы полиномами Чебышева и использованы на следующем этапе интегрирования уравнений движения остальных 297 малых тел. На заключительном этапе создания модели DE405 для трёх больших астероидов были использованы "средние периодические орбиты", образованные на основе их оскулирующих орбит, вычисленных прямым интегрированием.
• Индивидуальные обиты 297 астероидов были получены в результате интегрирования с учётом сил притяжения Солнца, планет и "Big3" астероидов. На каждом шаге интегрирования были вычислены, просуммированы и сохранены в трёх временных файлах вектора сил, действующие со стороны этих 297 малых тел на Землю, Луну и Марс. Первый файл для 218 астероидов, обладающих таксономическим классом C, второй - для 58 тел S класса и в третий файл просуммированы силы от 21 астероида M класса. В тех же временных файлах была сохранена информация о вкладе 297 астероидов в положение центра масс Солнечной системы. Вектора из этих временных файлов были представлены полиномами Чебышева и сохранены в окончательном наборе данных для использования в основной части интегрирования уравнений движения планет и Луны.
• Радиусы, массы и таксономические классы 297 малых тел, использованные в модели DE405/LE405, даны в одной из таблиц раздела 8.

3.2. Барицентр Солнечной системы

В релятивистской постановке задачи n-тел все динамические величины выражены по отношению к центру масс системы, определение для которого отличается от обычной ньютоновской формулировки. Выражение для барицентра Солнечной системы было дано в работе (Estabrook, 1971b):

(2)

(3)

В реальном процессе численного интегрирования оценивались и интегрировались только уравнения движения Луны и планет. Барицентрические положение и скорость Солнца были получены на основе уравнения барицентра. Следует заметить, что поскольку каждое из двух уравнений барицентра зависит от другого, то для оценки положения и скорости Солнца требуются последовательные приближения.