Даже очень осреднённые уравнения механики нельзя решить аналитически. Подробный анализ корней многочленов позволяет выявить области возможных движений и типы траекторий.

В своей работе Александр Александрович получил выражение для осреднённого гамильтониана в виде

где определяются равенствами

Так как не зависит от l" и h", то дифференциальные уравнения, которым удовлетворяют элементы , будут иметь вид

Система имеет три первых интеграла

и поэтому может быть сведена к квадратурам.

В функцию входят только две переменные величины: G" и g". Таким образом, систему

можно проинтегрировать независимо от других уравнений.

Частная производная в статье принимает вид

где через c₂ обозначена произвольная постоянная

После исключения переменной g" Александр Александрович в своей статье использует обозначение

и получает дифференциальное уравнение

где

Равенство (5.12) показывает, что в общем случае является эллиптической функцией. Для установления характера этой функции необходимо исследовать корни уравнения

Так как

то очевидно, что

причём

и

Значения c₃ заключены в пределах

Далее в статье исследуется общая картина изменений величин

при различном выборе постоянных c₂ и c₃. Александр Александрович отмечает, что

если в выражении функции отбросить члены третьего и высших порядков относительно m, то мы придём к двукратно осреднённой задаче Хилла, подробное качественное исследование которой выполнено М.Л.Лидовым. Соответствующее исследование показало, что это действительно так. Конечно, количественные характеристики решения рассматриваемой задачи будут отличаться от этих же характеристик двукратно осреднённой задачи Хилла. Но различные типы возможных движений в обоих этих случаях будут одинаковыми.

Изложим вкратце результаты, к которым привело это исследование.

Можно указать два основных типа решений дифференциальных уравнений (5.2).

I. Решения, обладающие тем свойством, что угловое расстояние перицентра орбиты спутника от восходящего узла подвержено вековому изменению. При этом функция

изменяется периодически, причём, если возрастает на , то проходит полный цикл своих изменений дважды.

II. Решения, которым соответствуют , не обладающие вековым изменением, а колеблющиеся около значения

В этом случае также изменяется периодически. Периоды изменений функций и одинаковы.

Первый из указанных типов движений имеет место при выполнении условия

а также при условиях

Второму типу движения соответствуют условия

Вернуться на страничку
Движение далёких спутников