В периодическом издании ``Бюллетень Института теоретической астрономии АН СССР'' (1965, том X, №5, с.360-378) в 1965 году опубликована статья:
А. А. Орлов
Приближённое аналитическое представление пространственных движений в задаче Хилла

Теоретической основой публикации послужили пионерские работы профессора Михаила Львовича Лидова и исключительная по чёткости изложения статья доктора Дирка Брауэра, вошедшая как раздел в книгу "Методы небесной механики", написанную в соавторстве с доктором Джеральдом Клеменсом.

В наши дни эту замечательную работу можно было бы назвать
"Первое приближение в модели движения далёких спутников планет-гигантов под действием возмущений от Солнца".

В первой статье предполагалось, что движение планеты вокруг Солнца происходит по круговой орбите. В следующих статьях Александр Александрович учёл эллиптичность орбиты и изменение на больших интервалах времени средних элементов орбиты планеты-гиганта.

В те прекрасные времена было известно 8 далёких спутников Юпитера (Леда, Гималия, Лиситея, Элара, Ананке, Карме, Пасифе, Синопе), один далёкий спутник Сатурна (Феба) и, в какой-то мере, спутник Нептуна Нереида.

Замечательно, что в начале двадцать первого века, после открытия большого количества далёких спутников планет-гигантов Юпитера, Сатурна, Урана и Нептуна, теоретические исследования А.А.Орлова получили практическое значение.

На рубеже веков старший научный сотрудник отдела небесной механики ГАИШ МГУ Валентина Семёновна Уральская создала замечательную страницу в Интернете, содержащую подробные сведения об естественных спутниках всех планет Солнечной системы.

В первые годы 21 века доктор физико-математических наук Михаил Александрович Вашковьяк значительно расширил модель, созданную профессором М.Л.Лидовым и А.А.Орловым.

Прекрасные результаты опубликованы в статьях:
М.А.Вашковьяк, Н.М.Тесленко
"Эволюционные характеристики орбит внешних спутников Юпитера"
журнал "Астрономический вестник", 2008 год, том 42, номер 4, страницы 301-316.
"Эволюционные характеристики орбит внешних спутников Сатурна, Урана и Нептуна"
журнал "Астрономический вестник", 2008 год, том 42, номер 6, страницы 521-537.

На примере статьи доктора А.А.Орлова, изучая её страница за страницей, постараемся освоить научный подход как к постановке, так и к решению задач небесной механики. Не станем ограничивать себя простым запоминанием формул, а шаг за шагом, беседа за беседой разработаем алгоритмы построения модели движения далёких спутников планет-гигантов на персональных компьютерах.

С помощью предлагаемых алгоритмов получены, например, графики: "Эволюционные характеристики орбит далёких спутников планеты Уран".

Постановка задачи
Планета-гигант обращается вокруг Солнца по круговой орбите. У планеты-гиганта есть спутник. Записаны канонические уравнения движения спутника в невращающейся системе отсчёта.

Уравнения движения
В рамках современной модели движения больших планет Солнечной системы записаны уравнения движения далёкого спутника планеты-гиганта в прямоугольных планетоцентрических координатах.

Начальные условия
Даны ссылки на страницы, содержащие полные данные о планетах и спутниках планет Солнечной системы. Приведён исходный текст программы численного интегрирования уравнений движения спутника.

Численное интегрирование
Дана ссылка на файл, в упакованном виде содержащий исходные и исполняемые модули программ численного интегрирования и графического представления результатов.

Возмущающая функция
Возмущающая функция представлена в виде суммы "элементарных" слагаемых. Алгоритм учитывает первую и вторую степени эксцентриситета и угла наклона к эклиптике орбиты планеты-гиганта.

Периодические неравенства
Пройдено два этапа канонических преобразований. Периоды изменения периодических возмущений приблизительно кратны периоду обращения спутника и периоду обращения планеты-гиганта.

Осреднённые уравнения
В вековом гамильтониане остались слагаемые, независящие от средней аномалии спутника и средней аномалии планеты. Вековые канонические уравнения могут быть решены численным образом.

Качественные исследования
Даже очень осреднённые уравнения механики нельзя решить аналитически. Подробный анализ корней многочленов позволяет выявить области возможных движений и типы траекторий.

Сравнение результатов
Численно-аналитическая модель движения далёких спутников даёт надёжные оценки эволюции элементов орбиты при отношении средних движений планеты и спутника порядка одной десятой и менее.