Orbital Ephemerides of the Sun, Moon, and Planets
presented by E. Myles Standish and James G. Williams

Орбитальные эфемериды Солнца, Луны и планет.

Е.Майлс Стэндиш, Джеймс Г.Вильямс

10. Кеплеровские элементы орбит для приближённых вычислений положений больших планет

Формулы для вычисления положений планет, обладающие низкой точностью, имеют ряд важных приложений в тех случаях, когда не требуется высокая точность эфемерид. Их часто используют как при составлении расписания наблюдений, наведении телескопа и предсказании некоторых явлений, так и при планировании и проектировании космических миссий.

Приблизительные положения девяти больших планет могут быть найдены на основе формул кеплеровской орбиты и начальных числовых значений элементов орбиты и скоростей их изменения. Приводимые в таблицах параметры нельзя называть "средними значениями" в том смысле, как это принято в небесной механике. Числовые значения элементов орбит и скоростей изменения элементов получены в результате сравнения с мгновенными значениями гелиоцентрических координат планет под одним условием: при использовании этих параметров в формулах кеплеровского движения среднее квадратическое отклонение должно быть минимальным на заранее заданном промежутке времени. Как следствие, следует отметить, что наборы элементов становятся неверными за пределами интервала времени, на котором они получены. (Разумеется, что параметры, приводимые в таблицах, не имеют никакого физического смысла и не могут служить причиной каких-либо теоретических выводов. Применение их ограничено списком практических задач, упомянутых в начале раздела.)

Повторим ещё раз, ибо это важно. Числовые значения элементов, приводимые в таблице 10.2 или в таблицах 10.3 и 10.4, зависят от интервала времени, на котором они получены и внутри которого их можно использовать.

В следующем подразделе даны формулы для использования этих элементов.

10.1. Формулы для использования кеплеровских элементов

Ниже в таблицах приводятся числовые значения следующих кеплеровских элементов:

	: большая полуось (астрономическая единица, астрономическая единица в столетие),
	: эксцентриситет,
	: угол наклонения (градусы, градусы за столетие),
	: средняя долгота (градусы, градусы за столетие),
	: долгота перигелия (градусы, градусы за столетие),  ,
	: долгота восходящего узла (градусы, градусы за столетие),

Для того, чтобы определить координаты одной из планет на заданную юлианскую эфемеридную дату , надо выполнить следующие действия:

1. Вычислить значение каждого из шести элементов этой планеты, например,
     ,
   где - момент времени в юлианских столетиях от эпохи J2000:
     .
2. Вычислить значение аргумента перигелия и значение средней аномалии   :
   

   ,   ,

   (30)

   где три последних слагаемых следует добавить к значению элемента для внешних планет от Юпитера до Плутона при использовании формул на интервале времени от -3000 до +3000 лет.
3. Привести значение средней аномалии к промежутку
   
   
   и затем получить числовое значение эксцентрической аномалии путём решения уравнения Кеплера:
   

   ,

   (31)

   
   где   .
   
4. Вычислить вектор гелиоцентрических координат планеты , расположенный в её орбитальной плоскости, с осью  , направленной из фокуса эллипса в точку перигелия:
   

   ,   ,   .

   (32)

5. Вычислить вектор , лежащий в плоскости эклиптики, фиксированной на стандартную эпоху J2000, с осью абсцисс, направленной в точку равноденствия:
   

   ,

   (33)

   или, в координатном виде,

   ,

   (34)

6. При желании можно получить компоненты вектора положения объекта в системе фиксированного экватора "ICRF":
   

   ,

   (35)

   где угол наклонения эклиптики к экватору на эпоху J2000 равен   .
   

10.2. Решение уравнения Кеплера .

Зададим числовые значения средней аномалии (в градусах) и эксцентриситета (в градусах), вычислим начальное значение эксцентрической аномалии

,

(36)

,   ,   ,

(37)

10.3. Значения кеплеровских параметров орбит для вычислений с низкой точностью

В таблице 8.1 даны оценки точностей, которые можно ожидать при использовании приближённого подхода, излагаемого в этом разделе.

Таблица 10.1

Максимальные ошибки в гелиоцентрической долготе  λ, гелиоцентрической широте  φ и гелиоцентрическом расстоянии планеты  ρ, возникающие в результате применения приближённых формул данного раздела.

Таблица 10.2

Кеплеровские элементы и скорости их изменения в системе средних эклиптики и экватора на эпоху J2000, пригодные на интервале времени с 1800 года по 2050 год.

Цифрами в колонках таблицы обозначены:

1		а.е, а.е. за столетие
2		радиан, радиан за столетие
3		градусы, градусы за столетие
4		градусы, градусы за столетие
5		градусы, градусы за столетие
6		градусы, градусы за столетие

Таблица 10.3

Кеплеровские элементы и скорости их изменения в системе средних эклиптики и экватора на эпоху J2000, пригодные на интервале времени с -3000 года по 3000 год. Вычисление значений средней аномалии внешних планет от Юпитера до Плутона необходимо выполнять по формуле (30), то есть с дополнительными слагаемыми. Числовые значения добавочных коэффициентов даны в таблице 10.4.

Таблица 10.4

Дополнительные слагаемые, которые должны быть добавлены при вычислении средней аномалии внешних планет от Юпитера до Плутона на интервале времени от -3000 года до 3000 года (формула 30).

Единицы измерения коэффициентов следующие:
   b   -   градусы в столетие за столетие,
   c   -   градусы,
   s   -   градусы,
   f   -   градусы за столетие.