Полиномы Лежандра и их производные

Рекуррентное соотношение для вычисления полиномов Лежандра высших порядков запишем в виде:

с начальными условиями

Возможны два варианта применения рекуррентной формулы.

1. Вычисление значения функции для произвольного при заданном числовом значении аргумента .
2. Нахождение численных значений коэффициентов полинома при различных степенях аргумента .

Преимущество рекуррентных соотношений заключается в скорости достижения результата, недостатком является возможная потеря вычислительной точности при вычитании больших чисел.

Первый вариант может быть проверен с помощью тождеств

Расчёты показали, что в результате использования формулы (1) с начальными условиями (2) и аргументами тождества (3) справедливы с точностью до 15 знаков после запятой при всех порядках полинома Лежандра от .

Второй способ проверки состоит в использовании формулы для производящей функции полиномов Лежандра:

Расчёты показали (табл.1), что при различных численных значениях параметра и аргумента значение суммы в правой части выражения (4) соответствует значению функции в левой части с точностью до 12 значащих цифр.

Целое число в последней колонке означает наибольший порядок полинома в сумме (4). Значение характерно для объектов с высотой полёта 300 километров над поверхностью Земли.

Для параметра , присущего геодезическим спутникам с высотой полёта более 700 километров, значение .

Вывод:
для заданных значений аргумента численные значения полиномов с помощью рекуррентного алгоритма определяются практически без потери вычислительной точности.

Второй вариант используется на предварительной стадии преобразования возмущающей функции.

Пусть - численные коэффициенты полинома

Сумма коэффициентов полинома любого порядка всегда равна единице

но величины коэффициентов достигают больших значений.

В табл.2 приводятся числовые значения некоторых коэффициентов:

Большое количество нулей после восемнадцатой значащей цифры каждого числа возникает как следствие ограниченности разрядной сетки компьютера.

Вывод:
алгоритм (5) определения значений коэффициентов полинома при различных степенях аргумента приводит к потере вычислительной точности в случае полиномов высоких порядков. Для погрешность может оказаться в пятом знаке после запятой. При значениях нет смысла использовать полученные коэффициенты.

Рекуррентное соотношение для вычисления производных высших порядков от полиномов Лежандра запишем в виде:

с начальными условиями для всех значений

Каждая из производных представляет из себя полином относительно аргумента порядка .

Точность вычисления производных при заданном числовом значении аргумента можно проверить с помощью соотношений:

Расчёты показали, что в результате использования формулы (6) с различными значениями аргумента тождества (8) справедливы с точностью до 17 значащих цифр при всех порядках полинома Лежандра от до .

Вывод:
рекуррентные формулы (6), (7) можно применять для вычисления мгновенных значений правых частей в алгоритме численного интегрирования уравнений движения.

В аналитическом подходе надо знать числовые значения коэффициентов полиномов

Алгоритм имеет вид:

Сравним по порядку величины две пары коэффициентов:

Вывод:
в процессе вычисления производных 6-го порядка от

Здесь можно вернуться на страницу Тексты и алгоритмы