6. Аналитические методы небесной
механики
6.1. Невозмущенное движение. Уравнения движения в задаче
двух тел и их решение. Возмущенное движение. Уравнения движения N тел и их первые
интегралы. Уравнения движения в координатах Якоби.
6.2.
Уравнения движения Эйлера и Лагранжа в оскулирующих элементах. Теория
возмущенного движения. Малые параметры в теории движения планет и спутников.
Промежуточные орбиты. Разложение пертурбационной функции.
6.3.
Интегрирование с помощью рядов по степеням времени (метод неопределенных коэффициентов
и метод рядов Ли).
6.4.
Формальное интегрирование уравнений движения в элементах промежуточной орбиты
методом малого параметра Ляпунова - Пуанкаре. Малые знаменатели. Резонанс.
6.5.
Теоремы Пуанкаре о ранге и классе возмущений. Сходимость в методе малого
параметра.
6.6.
Формальное интегрирование методом осреднения. Асимптотический характер метода
осреднения.
6.7.
Канонические преобразования. Метод Гамильтона-Якоби.
6.8. Метод
преобразований Ли в теории возмущений. Теория вековых возмущений.
6.9. Уравнения
поступательно-вращательного движения небесных тел. Стационарные решения этих
уравнений.
вернуться к
оглавлению или началу страницы
Уравнения движения в задаче двух тел и их решение.
Уравнения движения N тел и их первые
интегралы.
Уравнения движения в координатах Якоби.
Основные
предположения: существует абсолютное пространство трёх измерений, существует
абсолютное время.
В абсолютном
пространстве может быть задана инерциальная система отсчёта.
Рассматривается
движение материальных точек – частиц, обладающих массами, но не имеющих
размеров.
Сила притяжения,
действующая между частицами, прямо пропорциональна произведению их масс и
обратно пропорциональна квадрату расстояния между частицами.
Коэффициент пропорциональности
называется гравитационной постоянной, обозначим его символом f.
Задача, в которой
изучается движение только двух материальных частиц под действием взаимного
притяжения, называется задачей о невозмущённом движении.
Не правда ли, друзья,
печальная вышла картина: бесконечное трёхмерное пространство, равномерное
время, одно на всех, и две притягивающие массы, лишённые размеров?
вернуться к
оглавлению началу страницы началу пункта
Уравнения
движения в задаче двух тел и их решение.
В инерциальной системе
отсчёта введём прямоугольную систему координат с началом в точке O , и осями OX , OY , OZ .
Рассмотрим движение
двух материальных точек (двух тел) с массами m1 и m2 под действием взаимного притяжения.
Координаты первой
точки обозначим x1, y1, z1.
Координаты второй
точки обозначим x2, y2, z2.
Движение каждой точки в
инерциальной системе отсчёта определяется тремя дифференциальными уравнениями
второго порядка.
Система шести
дифференциальных уравнений второго порядка может быть сведена к системе трёх
дифференциальных уравнений второго порядка с помощью переноса начала системы
координат в точку m1 : x=x2-x1, y=y2-y1, z=z2-z1. (Относительная система координат.)
Система трёх
дифференциальных уравнений второго порядка может быть проинтегрирована. В
относительной системе координат задача двух тел с массами m1 и m2 превращается в задачу о движении
пробной частицы с единичной массой под действием притяжения одного неподвижного
центра с массой (m1+m2).
Движение пробной
частицы происходит в плоскости, не меняющей своего положения в пространстве.
Движение пробной
частицы происходит по эллипсу, в одном из фокусов которого находится
неподвижный центр.
вернуться к
оглавлению началу страницы началу пункта
В качестве шести
постоянных интегрирования задачи одного неподвижного центра можно использовать
элементы орбиты:
большую полуось
орбиты,
эксцентриситет орбиты,
угол наклонения
орбиты,
долготу восходящего
узла орбиты,
аргумент перицентра
орбиты,
средняя аномалия
орбиты в начальный момент времени.
Как только к системе
двух материальных точек будет добавлена ещё одна материальная точка, система
девяти дифференциальных уравнений становится неинтегрируемой.
Движение каждого из
тел в этом случае называют возмущённым движением.
вернуться к
оглавлению началу страницы началу пункта
Уравнения
движения N тел и их первые интегралы.
В инерциальной системе
отсчёта можно записать 3N дифференциальных уравнений второго порядка, определяющих движение N материальных точек.
Уравнения движения
имеют десять классических интегралов.
(Десять и только
десять, на просьбу записать одиннадцатый интеграл лучше всего сказать: «Не
могу».)
Интеграл энергии.
Три интеграла
сохранения момента количества движения.
Шесть интегралов
движения центра масс.
Центр масс системы N материальных точек движется равномерно и прямолинейно.
Начало инерциальной
системы отсчёта можно перенести в центр масс системы N материальных точек. Такая система
отсчёта получила название барицентрической системы
отсчёта.
В барицентрической
системе отсчёта центр масс неподвижен.
Уравнения движения N материальных точек можно записать в относительной
системе отсчёта. Для этого следует выполнить перенос начала координат в одну из
материальных точек.
Количество
дифференциальных уравнений второго порядка в относительной
системе отсчёта становится равным (3N-3). В уравнениях движения каждой из (N-1) материальных точек появляется косвенная
часть, обусловленная ускорением начала системы координат под действием
остальных (N-2) маcc.
вернуться к
оглавлению началу страницы началу пункта
Уравнения движения
в координатах Якоби.
Сложная
геометрическая схема вычисления координат Якоби была разработана специально для
аналитических подходов к решению задачи N тел (N материальных
точек).
Схема
включает в себя (N-1) шагов. Все материальные точки нумеруются по порядку.
На первом шаге центром
системы координат является одна из материальных точек (номер 1 в списке).
Вокруг этого центра обращается материальная точка номер 2.
На втором шаге центр
системы координат переносят в центр масс двух первых выбранных материальных
точек. Вокруг этого центра обращается материальная точка номер 3.
На третьем шаге центр
системы координат переносят в центр тяжести, образованный предыдущим центром и
третьей выбранной материальной точкой. Вокруг этого центра обращается материальная
точка номер 4.
…
На (N-1) шаге центр системы координат
переносят в центр тяжести, образованный предыдущим центром и оставшейся
материальной точкой. Вокруг этого центра обращается материальная точка номер N.
В результате
получается система (3N-3) дифференциальных уравнений второго
порядка. Система отличается сложными формулами вычисления приведённых масс. (В
задаче одного неподвижного центра приведённая масса равна сумме масс двух
материальных точек.)
Отличие от барицентрической системы отсчёта состоит в том,
что для каждой из (N-1) точек в нулевом
приближении можно использовать формулы невозмущённого
движения.
Отличие от относительной системы отсчёта состоит в том, что
правые части уравнений движения всех (N-1) точек, записанных в координатах
Якоби, являются частными производными от одной функции.
вернуться к
оглавлению началу страницы началу пункта