Астрономический вестник

 -  том 41, № 4, Июль-Август 2007, С. 291-329

ОБЗОР РАБОТ ПО ОРБИТАЛЬНОЙ ЭВОЛЮЦИИ БОЛЬШИХ ПЛАНЕТ СОЛНЕЧНОЙ СИСТЕМЫ

К. В. Холшевников¹, Э. Д. Кузнецов^2
1С.-Петербургский государственный университет
²Уральский государственный университет, Екатеринбург

Поступила в редакцию 31.07.2006 г.

Излагается история познания основных законов движения больших планет Солнечной системы. До Ньютона описание движения было чисто математическим, не опирающимся на физику ввиду неразвитости последней. С позиций современной математической теории аппроксимации все модели от предшественников Птолемея до Кеплера включительно различались лишь в деталях. Математическая теория работала на бесконечном интервале времени; движение было представлено квазипериодическими функциями П. Боля (частный случай почти-периодических функций Г. Бора). После Ньютона математическое описание движения стало базироваться на физических принципах и приняло форму обыкновенных дифференциальных уравнений. Появление в XX веке общей теории относительности (ОТО) и других релятивистских теорий тяготения слабо изменило математическую ситуацию в данной области. Действительно, в Солнечной системе эффекты ОТО столь малы, что достаточно пост-постньютоновского приближения. Поэтому сохраняется математическое описание с помощью обыкновенных дифференциальных уравнений. Более того, сохраняется лагранжева или гамильтонова форма уравнений. С начала XVIII и до середины XX века все нужные для практики теории движения больших планет строились аналитически методом малого параметра. В начале XX века Ляпуновым и Пуанкаре была установлена сходимость разложений на достаточно малом интервале времени. Позднее Холшевниковым был оценен этот интервал величиной порядка нескольких десятков тысяч лет, что согласуется с результатами численных экспериментов. С начала первой половины XIX века появились и первые работы, аналитически описывающие (в первом приближении) эволюцию на космогонических временах (Лаплас, Лагранж, Гаусс, Пуассон). В начале XX века на основе этих работ был развит метод осреднения. Во второй половине XX века появились мощные аналитические и численные методы, позволившие существенно продвинуться в проблеме описания орбитальной эволюции больших планет Солнечной системы. Их описанию и посвящена настоящая статья.

Список литературы

1.   Аким Э.Л., Степаньянц В.А. Численная теория Земли и Венеры по данным радиолокационных, оптических наблюдений и наблюдений за движением искусственных спутников “Венера-9” и “Венера-10” // ДАН СССР. 1977. Т. 233. С. 314–317.

2.   Анолик М.В., Красинский Г.А., Пиус Л.Ю. Тригонометрическая теория вековых возмущений больших планет // Тр. ИТА АН СССР. 1969. Т. 14. С. 3–47.

3.   Арнольд В.И. Малые знаменатели и проблема устойчивости в классической и небесной механике // Успехи матем. наук. 1963. Т. 18. № 6. С. 91–192.

4.   Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний // Собрание научных трудов. Т. 3. М.: Математика и нелинейная механика, 2005. 605 с.

5.   Брумберг В.А. Численное построение обобщенной планетной теории // Астрон. журн. 1967. Т. 44. № 1. С. 204–216.

6.   Брумберг В.А., Егорова А.В. Тригонометрическая линейная теория второго порядка вековых возмущений в движении больших планет // Наблюдения искусств. небес. тел. 1971. № 62. С. 42–72.

7.   Брумберг В.А., Евдокимова Л.С., Скрипниченко В.И. Квазипериодические промежуточные орбиты больших планет и резонансы нулевого порядка // Астрон. журн. 1975. Т. 52. С. 420–430.

8.   Брумберг В.А. Аналитические алгоритмы небесной механики. М.: Наука, 1980. 206 с.

9.   Будникова Н.А. Определение возмущений по методу Лапласа–Ньюкома на быстродействующих вычислительных машинах // Наблюдения искусств. небес. тел. 1971. № 62. С. 73–90.

10.                    Вашковьяк М.А. Количественные характеристики эволюции орбит в ограниченной круговой двукратно осредненной задаче трех тел // Препр. Ин-та прикл. математики АН СССР. № 157. М., 1979. 30 с.

11.                    Вашковьяк М.А. Эволюция орбит в ограниченной круговой двукратно осредненной задаче трех тел. 1. Качественное исследование // Космич. исслед. 1981a. Т. 19. Вып. 1. С. 5–18.

12.                    Вашковьяк М.А. Эволюция орбит в ограниченной круговой двукратно осредненной задаче трех тел. 2. Количественные характеристики // Космич. исслед. 1981б. Т. 19. Вып. 2. С. 165–177.

13.                    Герасимов И.А., Чазов В.В., Рыхлова Л.В., Тагаева Д.А. Построение теории движения тел Солнечной системы, основанной на универсальном методе вычисления возмущающей функции // Астрон. вестн. 2000. Т. 34. № 6. С. 559–566.

14.                    Глебова Н.И. Уточнение эфемерид внутренних планет на основе обработки оптических и радиолокационных наблюдений на интервале 1960–1980 // Бюлл. ИТА АН СССР. 1984. Т. 15. C. 241–250.

15.                    Гребеников Е.А., Рябов Ю.А. Новые качественные методы в небесной механике. М.: Наука, 1971. 444 с.

16.                    Давыдов В.Л., Молчанов А.М. Численные эксперименты в задаче об эволюции двухпланетной системы // Препр. Ин-та прикл. математики АН СССР. № 16. М., 1971. 30 с.

17.                    Данилов В.М., Дорогавцева Л.В. Оценки времени релаксации в численных динамических моделях рассеянных звездных скоплений // Астрон. журн. 2003. Т. 80. № 6. С. 526–534.

18.                    Ерошкин Г.И., Глебова Н.И., Фурсенко М.А. // Дополнения 27–28А к “Астрономическому ежегоднику”. СПб: ИТА РАН, 1992. С. 1–8.

19.                    Иванова Т.В. Пуассоновский процессор PSP // Препр. ИТА РАН. № 64. СПб., 1997. 46 с.

20.                    Кислик М.Д., Колюка Ю.Ф., Котельников В.А. и др. Единая релятивистская теория движения внутренних планет Солнечной системы // ДАН СССР. 1980. Т. 255. C. 545–547.

21.                    Красинский Г.А., Пиус Л.Ю. Вековые возмущения больших планет // Наблюдения искусств. небес. тел. 1971. № 62. С. 93–112.

22.                    Красинский Г.А., Питьева Е.В., Свешников М.А., Свешникова Е.С. Аналитическая теория движения внутренних планет АТ-1 и ее использование для решения задач эфемеридной астрономии // Тр. ИТА АН СССР. 1978. Т. 17. С. 46–53.

23.                    Красинский Г.А., Питьева Е.В., Свешников М.А., Свешникова Е.С. Некоторые результаты обработки радиолокационных, лазерных и оптических наблюдений внутренних планет и Луны // ДАН СССР. 1981. Т. 261. C. 1320–1324.

24.                    Красинский Г.А., Питьева Е.В., Свешников М.А., Свешникова Е.С. Уточнение эфемерид внутренних планет и Луны по радиолокационным, лазерным и меридианным измерениям 1961–1980 гг. // Бюлл. ИТА АН СССР. 1982. Т. 15. С. 169–175.

25.                    Красинский Г.А., Питьева Е.В., Свешников М.Л., Чунаева Л.И. Движение внешних планет на столетнем интервале времени // Деп. в ВИНИТИ. № 4816, В89. Л., 1989. 17 с.

26.                    Кузнецов Э.Д., Холшевников К.В. Разложение гамильтониана двупланетной задачи в ряд Пуассона по всем элементам: применение пуассоновского процессора // Астрон. вестн. 2004. Т. 38. № 2. С. 171–179.

27.                    Кузнецов Э.Д., Холшевников К.В. Динамическая эволюция слабовозмущенной двупланетной системы на космогоническом интервале времени: система Солнце–Юпитер–Сатурн // Астрон. вестн. 2006. Т. 40. № 3. С. 263–275.

28.                    Левитан Б.М. Почти-периодические функции. М.: Гостехиздат, 1953. 396 с.

29.                    Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. М.: Наука, 1966. 530 с.

30.                    Нехорошев Н.Н. Экспоненциальная оценка времени устойчивости гамильтоновых систем, близких к интегрируемым // Успехи матем. наук. 1977. Т. 32. № 6. С. 5–66.

31.                    Нехорошев Н.Н. Экспоненциальная оценка времени устойчивости гамильтоновых систем, близких к интегрируемым. 2 // Тр. семинара И.Г. Петровского. 1979. Т. 5. С. 5–50.

32.                    Питьева Е.В. Уточнение эфемерид больших планет и оценка величины векового изменения гравитационной постоянной по радарным наблюдениям космических аппаратов и планет 1961–1995 // Тр. ИПА РАН. Вып. 1. Астрометрия и геодинамика. 1997. С. 249–261.

33.                    Питьева Е.В. Новая численная теория движения больших планет EPM98 и ее сравнение с эфемеридой DE403 Лаборатории реактивного движения США // Тр. ИПА РАН. Вып. 3. Астрометрия и геодинамика. 1998. С. 5–23.

34.                    Питьева Е.В. Современные численные теории движения Солнца, Луны и больших планет // Труды ИПА РАН. Вып. 10. Эфемеридная астрономия. 2004. С. 112–134.

35.                    Питьева Е.В. Высокоточные эфемериды планет – EPM и определение некоторых астрономических постоянных // Астрон. вестн. 2005. Т. 39. № 3. С. 202–213.

36.                    Пуанкаре А. Лекции по небесной механике. М.: Наука, 1965. 572 с.

37.                    Соколов Л.Л, Холшевников К.В. O пpeдcтaвимocти peшeний зaдaчи тpex тeл ycлoвнo–пepиoдичecкими фyнкциями. I;
II // Астрон. журн. 1980. Т. 57. № 1. С. 168–177;
№ 2. С. 388–396.

38.                    Субботин М.Ф. Введение в теоретическую астрономию. М.: Наука, 1968. 800 с.

39.                    Сухотин А.А. Алгоритм метода Гаусса–Альфана–Горячева в лагранжевых переменных и его машинная реализация // Астрон. и геодезия. 1981. № 9. С. 67–73.

40.                    Сухотин А.А. Эволюция элементов орбит внешних планет на интервале времени 800 тысяч лет // Астрон. и геодезия. 1984. № 12. С. 80–91.

41.                    Сухотин А.А., Холшевников К.В. Эволюция планетных орбит за 200 тысяч лет, рассчитанная методом Альфана–Горячева // Астрон. и геодезия. 1986. № 14. С. 5–21.

42.                    Холшевников К.В. Асимптотические методы небесной механики. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1985. 208 с.

43.                    Холшевников К.В. Сохранение формы интегралов площадей при осредняющих преобразованиях // Астрон. журн. 1991. Т. 68. № 3. С. 660–663.

44.                    Холшевников К.В. Точность эпициклической теории // Историко-астрономические исследования. Вып. 24. М.: Янус, 1994. С. 181–191.

45.                    Холшевников К.В. Даламберовские функции в небесной механике // Астрон. журн. 1997. Т. 74. № 1. С. 146–153.

46.                    Холшевников К.В., Тублина О.К. Координаты в кеплеровском движении как даламберовские функции // Астрон. журн. 1998. Т. 75. № 3. С. 476–480.

47.                    Холшевников К.В. Гамильтониан планетной и спутниковой задачи как даламберовская функция // Астрон. журн. 2001. Т. 78. № 7. С. 669–672.

48.                    Холшевников К.В., Греб А.В. Неканоническая параметризация скобок Пуассона в небесной механике // Астрон. вестн. 2001. Т. 35. № 5. С. 457–462.

49.                    Холшевников К.В., Греб А.В., Кузнецов Э.Д. Разложение гамильтониана в ряд Пуассона по всем элементам (теория) // Астрон. вестн. 2001. Т. 35. № 3. С. 267–272.

50.                    Холшевников К.В., Греб А.В., Кузнецов Э.Д. Разложение гамильтониана двупланетной задачи в ряд Пуассона по всем элементам: оценка и прямое вычисление коэффициентов // Астрон. вестн. 2002. Т. 36. № 1. С. 75–87.

51.                    Шараф Ш.Г., Будникова Н.А. О вековых изменениях элементов орбиты Земли, влияющих на климаты геологического прошлого // Бюлл. ИТА АН СССР. 1967. Т. 11. № 4. C. 231–261.

52.                    Akim E.L., Brumberg V.A., Kislik M.D., et al. A relativistic theory of motion of inner planets // Proc. IAU Symp. № 114. Relativity in Celestial Mechanics and Astrometry / Eds Kovalevsky J., Brumberg V.A. Dordrecht: Kluwer, 1986. P. 63–68.

53.                    Applegate J.H., Douglas M.R., Gürsel Y., et al. The outer Solar System for 200 million years // Astron. J. 1986. V. 92. P. 176–194.

54.                    Ash M.E., Shapiro I.I., Smith W.B. Astronomical constants and planetary ephemerides deduced from radar and optical observations // Astron. J. 1967. V. 72. P. 332–350.

55.                    Bretagnon P. Termes à longues périodes dans le Système Solaire // Astron. and Astrophys. 1974. V. 30. P. 141–154.

56.                    Bretagnon P. Théorie au deuxième ordre des planètes inférieures // Astron. and Astrophys. 1980. V. 84. P. 329–341.

57.                    Bretagnon P. Construction d'une théorie des grosses planètes par une méthode itérative // Astron. and Astrophys. 1981. V. 101. P. 342–349.

58.                    Bretagnon P. Constantes d'intégration et éléments moyens pour l'ensemble des planètes // Astron. and Astrophys. 1982a. V. 108. P. 69–75.

59.                    Bretagnon P. Théorie du mouvement de l'ensemble des planètes. Solution VSOP82 // Astron. and Astrophys. 1982b. V. 114. P. 278–288.

60.                    Bretagnon P. Théorie des planètes inférieures // Celest. Mech. 1982c. V. 26. P. 161–167.

61.                    Bretagnon P. Amélioration des théories planétaries analytiques // Celest. Mech. 1984. V. 34. P. 193–201.

62.                    Bretagnon P. Construction of a planetary solution with the help of an N-body program, and analytical complements // Celest. Mech. 1986. V. 38. P. 181–190.

63.                    Bretagnon P., Francou G. Planetary theories in rectangular and spherical variables. VSOP87 solutions // Astron. and Astrophys. 1988. V. 202. P. 309–315.

64.                    Bretagnon P. Méthode itérative de construction d'une théorie générale planétaire // Astron. and Astrophys. 1990. V. 231. P. 561–570.

65.                    Bretagnon P., Simon J.-L. Théorie générale du couple Jupiter–Saturne par une méthode itérative // Astron. and Astrophys. 1990. V. 239. P. 387–398.

66.                    Bretagnon P., Francou G. General theory for the outer planets // Proc. IAU Symp. № 152. Chaos, Resonance, and Collective Dynamical Phenomena in the Solar System / Ed. Ferraz-Mello S. Dordrecht: Kluwer, 1992. P. 37–42.

67.                    Bretagnon P. Analytical solution of the motion of the planets over several thousands of years // Proc. IAU Symp. № 172. Dynamics, Ephemerides and Astrometry of the Solar System / Eds Ferraz-Mello S., Morando B., Arlot J.E. Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., 1996. P. 17–28.

68.                    Brouwer D., van Woerkom A.J.J. The secular variations of the orbital elements of the principal planets // Astron. Papers Amer. Ephem. 1950. V. 13. Pt. II. P. 81–107.

69.                    Brumberg V.A. Application of Hill's Lunar method in general planetary theory // Periodic Orbits, Stability and Resonances / Ed. Giacaglia G.E.O. Dordrecht: Reidel, 1970. P. 410–450.

70.                    Brumberg V.A., Chapront J. Construction of a general planetary theory of the first order // Celest. Meth. 1973. V. 8. P. 335–356.

71.                    Brumberg V.A. An iterative method of general planetary theory // Proc. IAU Symp. № 62. The stability of the Solar System and of small stellar systems / Ed. Kozai Y. 1974. P. 139–155.

72.                    Brumberg V.A., Evdokimova L.S., Skripnichenko V.I. Secular perturbations in general planetary theory // Celest. Mech. 1975. V. 11. P. 131–138.

73.                    Brumberg V.A. Perturbation theory in rectangular coordinates // Celest. Mech. 1978. V. 18. P. 319–336.

74.                    Brumberg V.A., Evdokimova L.S., Skripnichenko V.I. Mathematical results of the general planetary theory in rectangular coordinates // Dynamics of Planets and Satellites and Theories of their Motion / Ed. Szebechely V. Dordrecht: Reidel, 1978. P. 33–48.

75.                    Brumberg V.A. General planetary theory revisited with the aid of elliptic functions // Proc. 25th Symp. Celest. Mechanics / Eds Kinoshita H., Nakai H. Tokyo: Nat. Astron. Obs., 1992. P. 156.

76.                    Brumberg V.A. General planetary theory in elliptic functions // Celest. Mech. and Dyn. Astron. 1994. V. 59. P. 1–36.

77.                    Brumberg V.A. Analytical Techniques of Celestial Mechanics. Heidelberg: Springer, 1995.

78.                    Brumberg V.A. Theory compression with elliptic functions // Proc. IAU Symp. № 172. Dynamics, Ephemerides and Astrometry of the Solar System / Eds Ferraz-Mello S., Morando B., Arlot J.E. Dordrecht: Kluwer Acad. Publ. 1996. P. 89–100.

79.                    Brumberg V.A., Klioner S.A. Numerical efficiency of the elliptic function expansions of the first-order intermediary for general planetary theory // Proc. IAU Symp. № 172. Dynamics, Ephemerides and Astrometry of the Solar System / Eds Ferraz-Mello S., Morando B., Arlot J.E. Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., 1996. P. 101–104.

80.                    Carpino M., Milani A., Nobili A.M. Long-term numerical integrations and synthetic theories for the motion of the outer planets // Astron. and Astrophys. 1987. V. 181. P. 182–194.

81.                    Chambers J.E. A hybrid symplectic integrator that permits close encounters between massive bodies // Mon. Notic. Roy. Astron. Soc. 1999. V. 304. P. 793–799.

82.                    Chapront J. Construction d'une théorie littérale planétaire jusqu'au second ordre des masses // Astron. and Astrophys. 1970. V. 7. P. 175–203.

83.                    Chapront J., Simon J.L. Variations séculaires au premier ordre des éléments des quatre grosses planètes. Comparaison avec Le Verrier et Galliot // Astron. and Astrophys. 1972. V. 19. P. 231–234.

84.                    Chapront J., Bretagnon P., Mehl M. Un formulaire pour le calcul des perturbations d'ordres élevés dans les problèmes planétaires // Celest. Mech. 1975. V. 11. P. 379–399.

85.                    Chapront J., Simon J.L. Planetary theories with the aid of the expansions of elliptical functions // Celest. Mech. and Dyn. Astron. 1996. V. 63. P. 171–188.

86.                    Cohen C.J., Hubbard E.C. Libration of the close approaches of Pluto to Neptune // Astron. J. 1965. V. 70. P. 10–13.

87.                    Cohen C.J., Hubbard E.C., Oesterwinter C. Elements of the outer planets for one million years // Astron. Papers Amer. Ephem. 1973a. V. 22. Pt. I. 9. P. 3–82.

88.                    Cohen C.J., Hubbard E.C., Oesterwinter C. Planetary elements for 10 000 000 years // Celest. Mech. 1973b. V. 7. P. 438–448.

89.                    Duncan M.J., Lissauer J.J. The effects of post-main-sequence solar mass loss on the stability of our planetary system // Icarus. 1998. V. 134. P. 303–310.

90.                    Duriez L. Téorie générale planétarie en variables elliptiques. I. Développement des équations // Astron. and Astrophys. 1977. V. 54. P. 93–112.

91.                    Duriez L. Théorème de Poisson en variables héliocentriques. Conditions d'application de ce théorème relatif à l'invariabilité des grands axes des orbites planétaries à l'ordre deux des masses // Astron. and Astrophys. 1978. V. 68. P. 199–216.

92.                    Eckert W.J., Brouwer D., Clemence G.M. Coordinates of five outer planets, 1653–2060 // Astron. Papers Amer. Ephem. 1951. V. 12. 327 p.

93.                    Everhart E. Implicit single methods for integrating orbits // Celest. Mech. 1974. V. 10. P. 35–55.

94.                    Guzzo M. The web of three-planet resonances in the outer Solar System // Icarus. 2005. V. 174. P. 273–284.

95.                    Guzzo M. The web of three-planet resonances in the outer Solar System. II. A sourse of orbital instability for Uranus and Neptune // Icarus. 2006. V. 181. P. 475–485.

96.                    Hamid S.E. First-order planetary theory // Smiths. Astrophys. Obs. Spec. Report. 1968. 235 p.

97.                    Hayes W.B. Chaos in the Outer Solar System may be indeterminate // Bul. Amer. Astron. Soc. 2005. V. 37. P. 1414.

98.                    Hayes W.B. Is the outer Solar System chaotic? // astro–ph / 0702179. 2007a. 8 p.

99.                    Hayes W.B. Surfing on the edge: Chaos vs. near-integrability in the system of Jovian planets // Nature. 2007b. (в печати).

100.              Ito T., Tanikawa K. Very long-term numerical integrations of Solar System planetary orbits // Proc. 8th IAU Asian-Pacific Reg. Meeting. Astron. Soc. Jap. 2002a. V. 2. P. 45–46.

101.              Ito T., Tanikawa K. Long-term integrations and stability of planetary orbits in our Solar System // Mon. Notic. Roy. Astron. Soc. 2002b. V. 336. P. 483–500.

102.              Ivanova T. A new echeloned Poisson series processor (EPSP) // Celest. Mech. and Dyn. Astron. 2001. V. 80. P. 167–176.

103.              Jorba A., Zou M. A software package for the numerical integration of ODEs by means of high-order Taylor methods // Experim. Mathematics. 2005. V. 14. P. 99–117.

104.              Kholshevnikov K.V., Kuznetsov E.D. Evolution of a two-planetary regular system on a cosmogonic time scale // Journees-2003. Astrometry, Geodynamics and Solar System Dynamics: From milliarcseconds to microarcseconds / Eds Finkelstein A., Capitaine N. SPb.: IAA RAS, 2004a. P. 286–287.

105.              Kholshevnikov K.V., Kuznetsov E.D. Behaviour of a weakly perturbed two-planetary system on a cosmogonic time-scale // Order and chaos in stellar and planetary systems. ASP Conf. Ser. V. 316 / Eds Byrd G.G., Kholshevnikov K.V., Myllåri A.A., et. al. San Francisco: ASP, 2004b. P. 99–105.

106.              Kholshevnikov K.V., Kuznetsov E.D. Behaviuor of a two-planetary system on a cosmogonic time-scale // Proc. IAU Coll. № 197. Dynamics of Populations of Planetary Systems / Eds Kneževíc Z., Milani A. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2005. P. 107–112.

107.              Kinoshita H., Nakai H. Motions of the perihelios of Neptune and Pluto // Celest. Mech. 1984. V. 34. P. 203–217.

108.              Kinoshita H., Nakai H. New methods for long-time numerical integration of planetary orbits // Proc. IAU Symp. № 152. Chaos, Resonance, and Collective Dynamical Phenomena in the Solar System / Ed. Ferraz-Mello S. Dordrecht: Kluwer Acad. Publ. 1992. P. 395–406.

109.              Kinoshita H., Nakai H. Long-term behavior of the motion of Pluto over 5.5 billion years // Earth, Moon and Planets. 1995. V. 71. № 3. P. 165–173.

110.              Kinoshita H., Nakai H. The motion of Pluto over the age of the Solar System // Proc. IAU Symp. № 172. Dynamics, Ephemerides and Astrometry of the Solar System / Eds Ferraz-Mello S., Morando B., Arlot J.E. Dordrecht: Kluwer Acad. Publ, 1996. P. 61–70.

111.              Klioner S.A. Some typical algorithms of the perturbation theory within Mathematica and their analysis // Proc. 25th Symposium on Celestial Mechanics / Eds Kinoshita H., Nakai H. Tokyo: Nat. Astron. Obs., 1992. P. 172.

112.              Klioner S.A. On the expansions of intermediate orbit for general planetary theory // Celest. Mech. and Dyn. Astron. 1997. V. 66. P. 345–363.

113.              Krasinsky G.A., Aleshkina E.Yu., Pitjeva E.V., Sveshnikov M.L. Relativistic effects from planetary and lunar observations of the XVIII–XX centuries // Proc. IAU Symp. № 114. Relativity in Celestial Mechanics and Astrometry / Eds Kovalevsky J., Brumberg V.A. Dordrecht: Kluwer, 1986. P. 315–328.

114.              Krasinsky G.A., Pitjeva E.V., Sveshnikov M.L., Chunajeva L.I. The motion of major planets from observations 1769–1988 and some astronomical constants // Celest. Mech. and Dyn. Astron. 1993. V. 55. P. 1–23.

115.              Laskar J. Progress in general planetary theory // Celest. Mech. 1984. V. 34. P. 219–221.

116.              Laskar J. Accurate methods in general planetary theory // Astron. and Astrophys. 1985. V. 144. P. 133–146.

117.              Laskar J. Secular terms of classical planetary theory using the results of general theory // Astron. and Astrophys. 1986. V. 157. P. 59–70.

118.              Laskar J. Secular evolution of the Solar System over 10 millon years // Astron. and Astrophys. 1988. V. 198. P. 341–362.

119.              Laskar J. A numerical experiment on the chaotic behaviour of the Solar System // Nature. 1989. V. 338. P. 237–238.

120.              Laskar J. The chaotic motion of the Solar System. A numerical estimate of the size of the chaotic zones // Icarus. 1990. V. 88. P. 266–291.

121.              Laskar J. A few points on the stability of the Solar System // Proc. IAU Symp. № 152. Chaos, Resonance, and Collective Dynamical Phenomena in the Solar System / Ed. Ferraz-Mello S. Dordrecht: Kluwer. Acad. Publ., 1992. P. 1–16.

122.              Laskar J. Frequency analysis of dynamical system // Celest. Mech. and Dyn. Astron. 1993. V. 56. P. 191–196.

123.              Laskar J. Large scale chaos in the Solar System // Astron. and Astrophys. 1994. V. 287. P. L9–L12.

124.              Laskar J. Large scale chaos and marginal stability in the Solar System // Celest. Mech. and Dyn. Astron. 1996a. V. 64. P. 115–162.

125.              Laskar J. Marginal stability and chaos in the Solar System // Proc. IAU Symp. № 172. Dynamics, Ephemerides and Astrometry of the Solar System / Eds Ferraz-Mello S., Morando B., Arlot J.E. Dordrecht: Kluwer Acad. Publ. 1996b. P. 75–88.

126.              Laskar J., Robutel P. Stability of the planetary three-body problem. I. Expansion of the planetary Hamiltonian // Celest. Mech. and Dyn. Astron. 1995. V. 62. P. 193–217.

127.              Laskar J., Robutel P. High order symplectic integrators for perturbed Hamiltonian systems // Celest. Mech. and Dyn. Astron. 2001. V. 80. P. 39–62.

128.              Lecar M., Franklin F.A., Holman M.J. Chaos in the Solar System // Annual Rev. Astron. and Astrophys. 2001. V. 39. P. 581–631.

129.              Lestrade J.-F., Bretagnon P. Perturbations relativistes pour l'ensemble des planètes // Astron. and Astrophys. 1982. V. 105. P. 42–52.

130.              Lissauer J.J. Chaotic motion in the Solar System // Rev. Modern Physics. 1999. V. 71. № 3. P. 835–845.

131.              Locatelli U., Giorgilli A. Invariant tori in the secular motions of the three-body planetary systems // Celest. Mech. and Dyn. Astron. 2000. V. 78. P. 47–74.

132.              Message P.J. Asymptotic series for planetary motion in periodic terms in three dimensions // Celest. Mech. 1982. V. 26. P. 25–39.

133.              Milani A., Nobili A.M., Fox K., Carpino M. Long-term changes in the semimajor axes of the outer planèts // Nature. 1986. V. 319. P. 386–388.

134.              Milani A., Nobili A.M., Carpino M. Secular variations of the semimajor axes: Theory and experiments // Astron. and Astrophys. 1987. V. 172. P. 265–279.

135.              Milani A., Nobili A.M. Intergation error over very long time spans // Celest. Mech. 1988. V. 43. P. 1–34.

136.              Moisson X. Solar system planetary motion to third order of masses // Astron. and Astrophys. 1999. V. 341. P. 318–327.

137.              Moisson X., Bretagnon P. Analytical planetary solution VSOP2000 // Celest. Mech. and Dyn. Astron. 2000. V. 80. P. 205–213.

138.              Murray N., Holman M. The origin of chaos in the outer Solar System // Science. 1999. V. 283. P. 1877–1881.

139.              Nacozy P.E. On the stability of the Solar System // Astron. J. 1976. V. 81. P. 787–791.

140.              Nacozy P.E. A discussion of long-term numerical solutions of the Jupiter–Saturn–Sun system // Celest. Mech. 1977. V. 16. P. 77–86.

141.              Nacozy P.E. Numerical studies on the stability of the Solar System // Proc. IAU Symp. № 81. Dynamics of the Solar System / Ed. Duncombe R.L. 1979. P. 17–21.

142.              Newhall X.X., Standish E.M., Williams J.G. DE102: a numerical integrated ephemerides of the Moon and planets spanning forty-four centures // Astron. and Astrophys. 1983. V. 125. P. 150–167.

143.              Newman W.I., Varadi F., Lee A.Y., et al. Numerical integration, Lyapunov exponents and the outer Solar System // Bull. Amer. Astron. Soc. 2000. V. 32. P. 859.

144.              Newman W.I., Lee A.Y. Symplectic integration methods and chaos: Timestep selection and Lyapunov time // Bul. Amer. Astron. Soc. 2005. V 37. P. 531.

145.              Nobili A.M., Milani A., Carpino M. Fundamental frequencies and small divisors in the orbits of the outer planets // Astron. and Astrophys. 1989. V. 210. P. 313–336.

146.              Oesterwinter C., Cohen Ch.J. New orbital elements for Moon and planets // Celest. Mech. 1972. V. 5. P. 317–395.

147.              Pitjeva E.V. The ephemerides of the inner planets from spacecraft range data and radar observations 1961–1995 // Proc. IAU Coll. № 165. Dynamics and Astrometry of Natural and Artificial Celestial Bodies / Eds Wytrzyszczak I.M., Lieske J.H., Feldman R.A. Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., 1997. P. 251–256.

148.              Pitjeva E.V. Modern numerical ephemerides of planets and the importance of ranging observations for their creation // Celest. Mech. Dyn. Astron. 2001. V. 80. P. 249–271.

149.              Pitjeva E.V. EPM2002 and EPM2002C – two versions of high accuracy numerical planetary ephemerides constructed for TDB and TCB time scales // Тр. ИПА РАН. Вып. 11. 2004a. С. 91–106.

150.              Pitjeva E.V. Numerical ephemerides of planets and the Moon – EPM and improvement of some astronomical constants // Journees-2003. Astrometry, Geodynamics and Solar System Dynamics: From milliarcseconds to microarcseconds / Eds Finkelstein A., Capitaine N. SPb.: IAA RAS, 2004b. P. 243–250.

151.              Pitjeva E.V. Precise determination of the motion of planets and some astronomical constants from modern observations // Proc. IAU Coll. № 196. Transits of Venus: New Views of the Solar System and Galaxy / Ed. Kurtz D.W. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2004c. P. 230–241.

152.              Quinn T.R., Tremaine S., Duncan M. A three million year integration of the Earth's orbit // Astron. J. 1991. V. 101. P. 2287–2305.

153.              Richardson D.L. A third order intermediate orbit for planetary theory // Celest. Mech. 1982. V. 26. P. 187–195.

154.              Richardson D.L., Walker C.F. Numerical simulation of the nine-body planetary system spanning two million years // J. Astronaut. Sci. 1989. V. 37. P. 159–182.

155.              Robutel P. An application of KAM theory to the planetary three body problem // Celest. Mech. and Dyn. Astron. 1993a. V. 56. P. 197–199.

156.              Robutel P. The stability of the planetary three-body problem: Influence of the secular resonances // Celest. Mech. and Dyn. Astron. 1993b. V. 57. P. 97–98.

157.              Robutel P. Stability of the planetary three-body problem. II. KAM theory and existence of quasiperiodic motions // Celest. Mech. and Dyn. Astron. 1995. V. 62. P. 219–261.

158.              Roy A.E., Walker I.W., MacDonald A.J., et. al. Project LONGSTOP // Vistas in Astron. 1988. V. 32. Pt. 2. P. 95–116.

159.              Simon J.L. Théorie du mouvement des quatre grosses planètes. Solution TOP82 // Astron. and Astrophys. 1983. V. 120. P. 197–202.

160.              Simon J.L., Chapront J. Perturbations du second ordre des planètes Jupiter et Saturne. Comparaison avec Le Verrier // Astron. and Astrophys. 1974. V. 32. P. 51–64.

161.              Simon J.L., Bretagnon P. Perturbations du premier ordre des quatre grosses planètes. Variations littérales // Astron. and Astrophys. 1975a. V. 42. P. 259–263.

162.              Simon J.L., Bretagnon P. Résultats des perturbations du premier ordre des quatre grosses planètes. Variations littérales // Astron. and Astrophys. Suppl. 1975b. V. 22. P. 107–160.

163.              Simon J.L., Bretagnon P. Perturbations du deuxième ordre des quatre grosses planètes. Variations sécularies du demi-grand axe // Astron. and Astrophys. 1978a. V. 69. P. 369–372.

164.              Simon J.L., Bretagnon P. Résultats des perturbations du deuxième ordre des quatre grosses planètes // Astron. and Astrophys. Suppl. 1978b. V. 34. P. 183–194.

165.              Simon J.L., Francou G. Théorie au troisième ordre des masses des quatre grosses planètes // Astron. and Astrophys. 1981. V. 103. P. 223–243.

166.              Simon J.L., Francou G. Amélioration des théories de Jupiter et Saturne par analyse harmonique // Astron. and Astrophys. 1982. V. 114. P. 125–130.

167.              Simon J.L., Bretagnon P. Théorie du mouvement de Jupiter et Saturne sur un intervalle de temps de 6000 ans. Solution JASON84 // Astron. and Astrophys. 1984. V. 138. P. 169–178.

168.              Simon J.L., Joutel F. Calcul de perturbations mutuelles de Jupiter et Saturne en fonction d'une seule variable angulaire // Astron. and Astrophys. 1988. V. 205. P. 328–334.

169.              Simon J.L., Joutel F., Bretagnon P. Calcul de perturbations mutuelles des quatre grosses planètes en fonction d'une seule variable angulaire // Astron. and Astrophys. 1992. V. 265. P. 308–323.

170.              Simon J.L., Bretagnon P., Chapront J. et al. Numerical expressions for precession formulae and mean elements for the Moon and the planets // Astron. and Astrophys. 1994. V. 282. P. 663–683.

171.              Standish E.M., Jr. The JPL planetary ephemerides // Celest. Mech. 1982a. V. 26. P. 181–186.

172.              Standish E.M., Jr. Orientation of the JPL ephemerides, DE200/LE200, to the dynamical equinox of J2000 // Astron. and Astrophys. 1982b. V. 114. P. 297–302.

173.              Standish E.M., Jr. The observational basis for JPL's DE200, planetary ephemerides of the Astronomical Almanac // Astron. and Astrophys. 1990a. V. 233. P. 252–271.

174.              Standish E.M., Jr. An approximation to the outer planet ephemeris errors in JPL's DE200 // Astron. and Astrophys. 1990b. V. 233. P. 272–274.

175.              Standish E.M., Newhall X.X., Williams J.G., Folkner W.M. JPL planetary and lunar ephemerides, DE403/LE403. Interoffice Memorandum. 314.10-127. JPL. 1995. 22 p.

176.              Standish E.M., Newhall X.X. New accuracy levels for Solar System ephemerides // Proc. IAU Symp. № 172. Dynamics, Ephemerides and Astrometry of the Solar System / Eds Ferraz-Mello S., Morando B., Arlot J.E. Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., 1996. P. 29–36.

177.              Standish E.M., JPL planetary and lunar ephemerides, DE405/LE405. Interoffice Memorandum. 312.F-98-048. JPL. 1998. 18 p.

178.              Standish E.M. JPL planetary ephemerides, DE410. Interoffice Memorandum. 312.N-03-109. JPL. 2003. 16 p.

179.              Sussman G.J., Wisdom J. Numerical evidence that the motion of Pluto is chaotic // Science. 1988. V. 241. P. 433–437.

180.              Sussman G.J., Wisdom J. Chaotic evolution of the Solar System // Science. 1992. V. 257. P. 56–62.

181.              Varadi F., Ghil M., Kaula W.M. Jupiter, Saturn, and edge of chaos // Icarus. 1999. V. 139. P. 286–294.

182.              Varadi F., Runnegar B., Ghil M. Successive refinements in long-term integrations of planetary orbits // Astrophys. J. 2003. V. 592. P. 620–630.

183.              Williams C.A., Van Flandern N., Wright E.A. First order planetary perturbations with elliptic functions // Celest. Mech. 1987. V. 40. P. 367–391.

184.              Williams C.A. A planetary theory with elliptic functions and elliptic integrals exhibiting no small divisors // Proc. IAU Symp. № 152. Chaos, Resonance, and Collective Dynamical Phenomena in the Solar System / Ed. Ferraz-Mello S. Dordrecht: Kluwer. Acad. Publ., 1992. P. 43–48.

185.              Wisdom J., Holman M. Symplectic maps for the N-body problem // Astron. J. 1991. V. 102. P. 1528–1538.

186.              Wisdom J. Long-term evolution of the Solar System // Proc. IAU Symp. № 152. Chaos, Resonance, and Collective Dynamical Phenomena in the Solar System / Ed. Ferraz-Mello S. Dordrecht: Kluwer. Acad. Publ., 1992. P. 17–24.

187.              Zhang Jia-xiang. A study of the planetary secular perturbations // Chinese Astron. and Astrophys. 1982. V. 6. P. 137–144.